int tan ^{-1}(sec x+tan x) d x= | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int 	an ^{-1}(\sec x+	an x) d x$.हम जानते हैं कि $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ और $	an x = \frac{\sin x}{\cos x}$,इसलिए $\sec x + 	an

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$\frac{\pi x}{4}+\frac{x^2}{4}+c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int 	an ^{-1}(\sec x+	an x) d x$.हम जानते हैं कि $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ और $	an x = \frac{\sin x}{\cos x}$,इसलिए $\sec x + 	an x = \frac{1+\sin x}{\cos x}$.अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए,$1+\sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ और $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})$.अतः,$\frac{1+\sin x}{\cos x} = \frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})} = \frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}$.अंश और हर को $\cos \frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1+	an \frac{x}{2}}{1-	an \frac{x}{2}} = 	an(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})$ प्राप्त होता है।इसलिए,$I = \int 	an^{-1}(	an(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})) d x = \int (\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) d x$.प्रत्येक पद का समाकलन करने पर,हमें $I = \frac{\pi x}{4} + \frac{x^2}{4} + c$ प्राप्त होता है।

$\int \tan ^{-1}(\sec x+\tan x) d x=$

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