int frac{sin frac{5x}{2}}{sin frac{x}{2}} dx | vedclass

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Question

(C) हमारे पास $I = \int \frac{\sin \frac{5x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} dx$ है। सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करके,हम $\fr

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$x + 2 \sin x + \sin 2x + C$

Vedclass · Answer

(C) हमारे पास $I = \int \frac{\sin \frac{5x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} dx$ है। सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करके,हम $\frac{5x}{2} = 2x + \frac{x}{2}$ लिखते हैं। $I = \int \frac{\sin(2x + \frac{x}{2})}{\sin \frac{x}{2}} dx = \int \frac{\sin 2x \cos \frac{x}{2} + \cos 2x \sin \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} dx$. $I = \int (\sin 2x \cot \frac{x}{2} + \cos 2x) dx$. वैकल्पिक रूप से,योग-से-गुणन सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: $\frac{\sin \frac{5x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} = \frac{\sin(2x + \frac{x}{2})}{\sin \frac{x}{2}} = \frac{\sin 2x \cos \frac{x}{2} + \cos 2x \sin \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} = \cos 2x + \sin 2x \cot \frac{x}{2}$. $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $\cot \frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{\sin x}$ का उपयोग करने पर: $\sin 2x \cot \frac{x}{2} = 2 \sin x \cos x \cdot \frac{1+\cos x}{\sin x} = 2 \cos x(1+\cos x) = 2 \cos x + 2 \cos^2 x$. चूंकि $2 \cos^2 x = 1 + \cos 2x$,इसलिए: $\cos 2x + 2 \cos x + 1 + \cos 2x = 1 + 2 \cos x + 2 \cos 2x$. समाकलन करने पर: $\int (1 + 2 \cos x + 2 \cos 2x) dx = x + 2 \sin x + \sin 2x + C$.

$\int \frac{\sin \frac{5x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} dx = $ (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है।)

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