int frac{1}{e^x+1} , dx = | vedclass

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Question

(B) समाकलन $I = \int \frac{1}{e^x + 1} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम अंश और हर को $e^{-x}$ से गुणा करते हैं:$I = \int \frac{e^{-x}}{e^{-x}(e^x +

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$x - \log(e^x + 1) + c$,जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है।

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(B) समाकलन $I = \int \frac{1}{e^x + 1} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम अंश और हर को $e^{-x}$ से गुणा करते हैं:$I = \int \frac{e^{-x}}{e^{-x}(e^x + 1)} \, dx = \int \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} \, dx$मान लीजिए $u = 1 + e^{-x}$. तब $du = -e^{-x} \, dx$,जिसका अर्थ है कि $e^{-x} \, dx = -du$.इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int \frac{-du}{u} = -\log|u| + c$$I = -\log(1 + e^{-x}) + c$चूँकि $1 + e^{-x} = 1 + \frac{1}{e^x} = \frac{e^x + 1}{e^x}$,इसलिए:$I = -\log\left(\frac{e^x + 1}{e^x}\right) + c = -[\log(e^x + 1) - \log(e^x)] + c$$I = -\log(e^x + 1) + x + c$अतः,$I = x - \log(e^x + 1) + c$.

$\int \frac{1}{e^x+1} \, dx =$

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