int frac{2x+5}{sqrt{7-6x-x^2}} , dx = A sqrt{ | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{2x+5}{\sqrt{7-6x-x^2}} \, dx$.अंश को इस प्रकार लिखने पर: $2x+5 = -( -2x - 6 ) - 1$.अतः,$I = \int \frac{-( -2x - 6 ) - 1}{\sqr

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-$3$

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(A) माना $I = \int \frac{2x+5}{\sqrt{7-6x-x^2}} \, dx$.अंश को इस प्रकार लिखने पर: $2x+5 = -( -2x - 6 ) - 1$.अतः,$I = \int \frac{-( -2x - 6 ) - 1}{\sqrt{7-6x-x^2}} \, dx = -\int \frac{-2x-6}{\sqrt{7-6x-x^2}} \, dx - \int \frac{1}{\sqrt{7 - (x^2 + 6x)}} \, dx$.हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर: $7 - (x^2 + 6x + 9 - 9) = 7 + 9 - (x+3)^2 = 16 - (x+3)^2 = 4^2 - (x+3)^2$.इस प्रकार,$I = -\int (7-6x-x^2)^{-1/2} (-2x-6) \, dx - \int \frac{1}{\sqrt{4^2 - (x+3)^2}} \, dx$.$u = 7-6x-x^2$ प्रतिस्थापन लेने पर,$du = (-6-2x) \, dx$ प्राप्त होता है:$I = -2(7-6x-x^2)^{1/2} - \sin^{-1}\left(\frac{x+3}{4}\right) + c$.दिए गए रूप $A \sqrt{7-6x-x^2} + B \sin^{-1}\left(\frac{x+3}{4}\right) + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = -2$ और $B = -1$ प्राप्त होता है।इसलिए,$A+B = -2 + (-1) = -3$.

$\int \frac{2x+5}{\sqrt{7-6x-x^2}} \, dx = A \sqrt{7-6x-x^2} + B \sin^{-1}\left(\frac{x+3}{4}\right) + c$ (जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है),तो $A+B$ का मान ज्ञात कीजिए।

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