समाकलन int_0^1 frac{x^b - 1}{log x} , dx का म | vedclass

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Question

(D) माना $I(b) = \int_0^1 \frac{x^b - 1}{\log x} \, dx$. समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन की फेनमैन तकनीक का उपयोग करते हुए,हम $b$ के सापेक्ष $I(b)$ का अ

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इनमें से कोई नहीं

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(D) माना $I(b) = \int_0^1 \frac{x^b - 1}{\log x} \, dx$. समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन की फेनमैन तकनीक का उपयोग करते हुए,हम $b$ के सापेक्ष $I(b)$ का अवकलन करते हैं: $I'(b) = \frac{d}{db} \int_0^1 \frac{x^b - 1}{\log x} \, dx = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial b} \left( \frac{x^b - 1}{\log x} \right) \, dx$. चूंकि $\frac{\partial}{\partial b} (x^b) = x^b \log x$,इसलिए: $I'(b) = \int_0^1 \frac{x^b \log x}{\log x} \, dx = \int_0^1 x^b \, dx$. समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $I'(b) = \left[ \frac{x^{b+1}}{b+1} \right]_0^1 = \frac{1}{b+1}$. अब,$b$ के सापेक्ष $I'(b)$ का समाकलन करने पर: $I(b) = \int \frac{1}{b+1} \, db = \log(b+1) + C$. जब $b = 0$ है,तो $I(0) = \int_0^1 \frac{x^0 - 1}{\log x} \, dx = \int_0^1 0 \, dx = 0$. हमारे समीकरण में $b = 0$ रखने पर: $I(0) = \log(0+1) + C = 0 \implies C = 0$. अतः,$I(b) = \log(b+1)$.

समाकलन $\int_0^1 \frac{x^b - 1}{\log x} \, dx$ का मान क्या है?

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यदि $\int \sqrt{\sec 2x - 1} \, dx = \alpha \log_e \left| \cos 2x + \beta + \sqrt{\cos 2x (1 + \cos \frac{1}{\beta} x)} \right| + C$ है,तो $\beta - \alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

$n \ge 2$ के लिए,यदि $I_n = \int (\sin x + \cos x)^n dx$ है,तो $nI_n - 2(n-1)I_{n-2} = $

$\int \frac{25 x^2+8}{\sqrt{25 x^2+9}} d x=$

यदि $\int \frac{2 x^{12}+5 x^9}{\left(x^5+x^3+1\right)^3} d x=\frac{1}{2} f(x)+C$ है, तो $f(1)-f(0)=$

$\int {\frac{{2x + 5}}{{\sqrt {7 - 6x - {x^2}} }}dx} = A\sqrt {7 - 6x - {x^2}} + B\,{\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{x + 3}}{4}} \right) + C$ (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है),तो क्रमित युग्म $(A, B)$ बराबर है

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