यदि int sqrt{sec 2x - 1} , dx = alpha log_e l | vedclass

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Question

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \sqrt{\sec 2x - 1} \, dx = \int \sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{\cos 2x}} \, dx = \int \sqrt{\frac{2 \sin^2 x}{\cos 2x}} \, dx

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(B) दिया गया समाकलन $I = \int \sqrt{\sec 2x - 1} \, dx = \int \sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{\cos 2x}} \, dx = \int \sqrt{\frac{2 \sin^2 x}{\cos 2x}} \, dx = \sqrt{2} \int \frac{\sin x}{\sqrt{\cos 2x}} \, dx$ है।माना $\cos x = t$,तब $-\sin x \, dx = dt$ होगा।$I = -\sqrt{2} \int \frac{dt}{\sqrt{2t^2 - 1}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{t^2 - 1/2}}$।सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln |x + \sqrt{x^2 - a^2}|$ का उपयोग करने पर,$I = -\ln |\cos x + \sqrt{\cos^2 x - 1/2}| + C = -\ln |\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\cos 2x}| + C$ प्राप्त होता है।इसे सरल करने पर,$I = -\frac{1}{2} \ln |\cos 2x + 1/2 + \sqrt{\cos 2x (1 + \cos 2x)}| + C$ प्राप्त होता है।तुलना करने पर,$\alpha = -1/2$ और $\beta = 1/2$ है।अतः,$\beta - \alpha = 1/2 - (-1/2) = 1$।

यदि $\int \sqrt{\sec 2x - 1} \, dx = \alpha \log_e \left| \cos 2x + \beta + \sqrt{\cos 2x (1 + \cos \frac{1}{\beta} x)} \right| + C$ है,तो $\beta - \alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

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