फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{1}{\sqrt{(x-1)(x-2)}}$

हमें समाकलन $I = \int \frac{1}{\sqrt{(x-1)(x-2)}} dx$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,वर्गमूल के अंदर के व्यंजक का विस्तार करें:
$(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$.
द्विघात व्यंजक के लिए पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करें:
$x^2 - 3x + 2 = (x^2 - 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} + 2 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4} = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2$.
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करें:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{(x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2}} dx$.
मान लीजिए $t = x - \frac{3}{2}$,तब $dt = dx$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{t^2 - a^2}} dt = \log |t + \sqrt{t^2 - a^2}| + C$ का उपयोग करते हुए:
$I = \log |(x - \frac{3}{2}) + \sqrt{(x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2}| + C$.
वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को मूल रूप में वापस लाने पर:
$I = \log |(x - \frac{3}{2}) + \sqrt{x^2 - 3x + 2}| + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।