int(sqrt{tan x}+sqrt{cot x}) d x= | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int(\sqrt{	an x} + \sqrt{\cot x}) dx$. हम इसे $I = \int \left(\sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}} + \sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}}ight) dx$ क

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$\sqrt{2} \sin ^{-1}(\sin x-\cos x)+c$,जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int(\sqrt{	an x} + \sqrt{\cot x}) dx$. हम इसे $I = \int \left(\sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}} + \sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}}ight) dx$ के रूप में लिख सकते हैं। समाकल्य को सरल करने पर,$I = \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin x \cos x}} dx$ प्राप्त होता है। माना $t = \sin x - \cos x$. तब $dt = (\cos x + \sin x) dx$. $t = \sin x - \cos x$ के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$t^2 = \sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x = 1 - 2 \sin x \cos x$. अतः,$2 \sin x \cos x = 1 - t^2$,जिसका अर्थ है कि $\sin x \cos x = \frac{1 - t^2}{2}$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int \frac{dt}{\sqrt{\frac{1 - t^2}{2}}} = \sqrt{2} \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}}$ प्राप्त होता है। समाकलन करने पर,$I = \sqrt{2} \sin^{-1}(t) + c$ प्राप्त होता है। $t = \sin x - \cos x$ वापस रखने पर,$I = \sqrt{2} \sin^{-1}(\sin x - \cos x) + c$ प्राप्त होता है।

$\int(\sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x}) d x=$

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