int frac{x^{2}+1}{x^{4}+x^{2}+1} d x= | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{x^{2}+1}{x^{4}+x^{2}+1} dx$. अंश और हर को $x^{2}$ से विभाजित करने पर: $I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} + 1 + \frac{

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$\frac{1}{\sqrt{3}} 	an ^{-1}\left(\frac{x-\frac{1}{x}}{\sqrt{3}}ight)+c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{x^{2}+1}{x^{4}+x^{2}+1} dx$. अंश और हर को $x^{2}$ से विभाजित करने पर: $I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} + 1 + \frac{1}{x^{2}}} dx$. हर को $(x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2) + 3 = (x - \frac{1}{x})^{2} + (\sqrt{3})^{2}$ के रूप में लिखने पर। अतः,$I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{(x - \frac{1}{x})^{2} + (\sqrt{3})^{2}} dx$. माना $t = x - \frac{1}{x}$,तो $dt = (1 + \frac{1}{x^{2}}) dx$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{dt}{t^{2} + (\sqrt{3})^{2}}$. मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{x^{2} + a^{2}} = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर: $I = \frac{1}{\sqrt{3}} 	an^{-1}(\frac{t}{\sqrt{3}}) + c$. $t$ के स्थान पर $x - \frac{1}{x}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \frac{1}{\sqrt{3}} 	an^{-1}(\frac{x - \frac{1}{x}}{\sqrt{3}}) + c$.

$\int \frac{x^{2}+1}{x^{4}+x^{2}+1} d x=$

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मान लीजिए $I(x)=\int\frac{3dx}{(4x+6)(\sqrt{4x^{2}+8x+3})}$ और $I(0)=\frac{\sqrt{3}}{4}+20$ है। यदि $I(\frac{1}{2})=\frac{a\sqrt{2}}{b}+c$, जहाँ $a, b, c \in N$ और $gcd(a,b)=1$, तो $a+b+c$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\int \frac{2 x^2+5 x+9}{\sqrt{x^2+x+1}} d x=x \sqrt{x^2+x+1}+\alpha \sqrt{x^2+x+1}+\beta \log _{ e }\left| x +\frac{1}{2}+\sqrt{ x ^2+ x +1}\right|+ C$ है,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है,तो $\alpha+2 \beta$ का मान . . . . . . है।

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