सारणिक का मान ज्ञात कीजिए: $\left| \begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ -a & 1 & c \\ -b & -c & 1 \end{array} \right|$

सारणिकों (determinants) का उपयोग करके $(3, 1)$ और $(9, 3)$ को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यह दिया गया है कि, $a \alpha^2+2 b \alpha+c \neq 0$ और समीकरणों की प्रणाली
$\begin{aligned} & (a \alpha+b) x+a y+b z=0 \\ & (b \alpha+c) x+b y+c z=0 \\ & (a \alpha+b) y+(b \alpha+c) z=0\end{aligned}$
का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है, तो $a, b$ और $c$ किसमें हैं?

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & \beta \\ 0 & \beta & \alpha \end{bmatrix}$ और $|2A|^3 = 2^{21}$,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$ है। तो $\alpha$ का एक मान है:

मान लीजिए $S$,$\theta \in [-\pi, \pi]$ के उन सभी मानों का समुच्चय है जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय
$x + y + \sqrt{3} z = 0$
$-x + (\tan \theta) y + \sqrt{7} z = 0$
$x + y + (\tan \theta) z = 0$
का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है। तो $\frac{120}{\pi} \sum_{\theta \in S} \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

आव्यूह $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&\lambda &{ - 4}\\{ - 1}&3&4\\1&{ - 2}&{ - 3}\end{array}} \right]$ व्युत्क्रमणीय (non-singular) है,यदि