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Question

(C) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \ a & b & c \ a^3 & b^3 & c^3 \end{array} ight|$.यदि हम $a = b$ रखते हैं,तो पहला और दूसरा स

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$(a + b + c)(a - b)(b - c)(c - a)$

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(C) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \ a & b & c \ a^3 & b^3 & c^3 \end{array} ight|$.यदि हम $a = b$ रखते हैं,तो पहला और दूसरा स्तंभ समान हो जाते हैं,इसलिए $\Delta = 0$। अतः,$(a - b)$ एक गुणनखंड है। इसी प्रकार,$(b - c)$ और $(c - a)$ भी गुणनखंड हैं।सारणिक की घात $1 + 1 + 3 = 5$ है (या विस्तार को देखने पर,अधिकतम घात $4$ है)। चूंकि सारणिक $a, b, c$ में $4$ घात वाला बहुपद है और हमने $(a - b)(b - c)(c - a)$ गुणनखंड प्राप्त कर लिए हैं,इसलिए शेष गुणनखंड $(a + b + c)$ होना चाहिए।अतः,$\Delta = k(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c)$।दोनों पक्षों में $bc^3$ के गुणांक की तुलना करने पर,हमें $k = 1$ प्राप्त होता है।इसलिए,$\Delta = (a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c)$।

$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{array} \right| = $

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