int frac{(x-1) e^{x}}{(x+1)^{3}} d x का मान ज | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{x-1}{(x+1)^{3}} e^{x} d x$ है। अंश को $(x+1)-2$ के रूप में लिखने पर: $I = \int \frac{(x+1)-2}{(x+1)^{3}} e^{x} d x$ $I = \int

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$\frac{e^{x}}{(x+1)^{2}}+C$

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(B) माना $I = \int \frac{x-1}{(x+1)^{3}} e^{x} d x$ है। अंश को $(x+1)-2$ के रूप में लिखने पर: $I = \int \frac{(x+1)-2}{(x+1)^{3}} e^{x} d x$ $I = \int \left( \frac{x+1}{(x+1)^{3}} - \frac{2}{(x+1)^{3}} \right) e^{x} d x$ $I = \int \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} d x - \int \frac{2 e^{x}}{(x+1)^{3}} d x$. अब,पहले समाकलन $\int \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} d x$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \frac{1}{(x+1)^{2}}$ और $dv = e^{x} dx$ लेने पर: $du = -2(x+1)^{-3} dx$ और $v = e^{x}$. $\int \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} d x = \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} - \int e^{x} \left( -\frac{2}{(x+1)^{3}} \right) d x$ $= \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} + \int \frac{2 e^{x}}{(x+1)^{3}} d x$. इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \left( \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} + \int \frac{2 e^{x}}{(x+1)^{3}} d x \right) - \int \frac{2 e^{x}}{(x+1)^{3}} d x$ $I = \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} + C$.

$\int \frac{(x-1) e^{x}}{(x+1)^{3}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $I = \int e^{\sin \theta} (\log \sin \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta) \cos \theta \, d\theta$ है,तो $I$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2}\left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}\right)^2+\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right] d x=$

$\int {{{\left( {\frac{{x + 2}}{{x + 4}}} \right)}^2}{e^x}\,dx} $ किसके बराबर है?

$\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} (x + \sqrt{x}) \, dx$

$\int \left( \frac{x^2+1}{(x+1)^2} \right) e^x \, dx = \text{ . . . . . . }$.

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