यदि I = int e^{sin theta} (log sin theta + op | vedclass

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Question

(C) माना $\sin 	heta = t$. तब $\cos 	heta \, d	heta = dt$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int e^t (\log t + \frac{1}{t^2}) \, dt = \int e^t

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$e^{\sin 	heta} (\log \sin 	heta - \operatorname{cosec} 	heta) + c$,(जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है)

Vedclass · Answer

(C) माना $\sin 	heta = t$. तब $\cos 	heta \, d	heta = dt$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int e^t (\log t + \frac{1}{t^2}) \, dt = \int e^t \log t \, dt + \int \frac{e^t}{t^2} \, dt$. यहाँ,यदि हम $f(t) = \log t - \frac{1}{t}$ लें,तो $f'(t) = \frac{1}{t} + \frac{1}{t^2}$ प्राप्त होता है। अब,$e^t (\log t - \frac{1}{t})$ का अवकलन करने पर: $\frac{d}{dt} [e^t (\log t - \frac{1}{t})] = e^t (\log t - \frac{1}{t}) + e^t (\frac{1}{t} + \frac{1}{t^2}) = e^t (\log t + \frac{1}{t^2})$. अतः,$I = e^t (\log t - \frac{1}{t}) + c = e^{\sin 	heta} (\log \sin 	heta - \operatorname{cosec} 	heta) + c$.

यदि $I = \int e^{\sin \theta} (\log \sin \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta) \cos \theta \, d\theta$ है,तो $I$ का मान ज्ञात कीजिए।

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