int_0^{pi / 2} frac{cos x sin x}{1+sin x} d x | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x \sin x}{1+\sin x} d x$. हम अंश को $\cos x(1+\sin x - 1)$ के रूप में लिख सकते हैं। तब,$I = \int_0^{\pi / 2}

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$1-\log 2$

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(D) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x \sin x}{1+\sin x} d x$. हम अंश को $\cos x(1+\sin x - 1)$ के रूप में लिख सकते हैं। तब,$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x(1+\sin x) - \cos x}{1+\sin x} d x$. यह सरल होकर $I = \int_0^{\pi / 2} \cos x d x - \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+\sin x} d x$ हो जाता है। प्रथम समाकलन का मान: $\int_0^{\pi / 2} \cos x d x = [\sin x]_0^{\pi / 2} = \sin(\pi/2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$. दूसरे समाकलन के लिए,माना $t = 1 + \sin x$,तो $dt = \cos x dx$. जब $x = 0, t = 1$; जब $x = \pi/2, t = 2$. अतः,$\int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+\sin x} d x = \int_1^2 \frac{dt}{t} = [\log |t|]_1^2 = \log 2 - \log 1 = \log 2$. इसलिए,$I = 1 - \log 2$.

$\int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x \sin x}{1+\sin x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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