रेखाओं का एक युग्म S=0 और समीकरण 8 x^2-14 x y | vedclass

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Question

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $8 x^2-14 x y+3 y^2+10 x+10 y-25=0$ है।व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें $(4 x-y-5)(2 x-3 y+5)=0$ प्राप्त होता है।रेखाएं $L_1:

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$8 x^2-14 x y+3 y^2-50 x+50 y+75=0$

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(C) दी गई रेखाओं का युग्म $8 x^2-14 x y+3 y^2+10 x+10 y-25=0$ है।व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें $(4 x-y-5)(2 x-3 y+5)=0$ प्राप्त होता है।रेखाएं $L_1: 4 x-y-5=0$ और $L_2: 2 x-3 y+5=0$ हैं।$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(2,3)$ है।माना रेखाओं का युग्म $S=0$,$(4 x-y+c_1)(2 x-3 y+c_2)=0$ है।चूंकि ये रेखाएं $L_1$ और $L_2$ के साथ एक समांतर चतुर्भुज बनाती हैं,इसलिए विकर्ण $(3,2)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।नई रेखाओं के युग्म का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ है। $(2,3)$ और $(x_1, y_1)$ का मध्य बिंदु $(3,2)$ है।अतः,$\frac{x_1+2}{2}=3 \Rightarrow x_1=4$ और $\frac{y_1+3}{2}=2 \Rightarrow y_1=1$ है।$(4,1)$ को रेखाओं $4 x-y+c_1=0$ और $2 x-3 y+c_2=0$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $c_1=-15$ और $c_2=-5$ प्राप्त होता है।समीकरण $S=0$,$(4 x-y-15)(2 x-3 y-5)=0$ है।इसका विस्तार करने पर,हमें $8 x^2-14 x y+3 y^2-50 x+50 y+75=0$ प्राप्त होता है।

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