sum_{n=1}^{infty} frac{2n}{(2n+1)!} का मान ज् | vedclass

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Question

(A) हमारे पास श्रेणी $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(2n+1)!}$ है।अंश को $(2n+1) - 1$ के रूप में लिखने पर:$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1-1}{(2n+1)!} =

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$1/e$

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(A) हमारे पास श्रेणी $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(2n+1)!}$ है।अंश को $(2n+1) - 1$ के रूप में लिखने पर:$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1-1}{(2n+1)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{(2n)!} - \frac{1}{(2n+1)!} \right)$.श्रेणी का विस्तार करने पर:$= \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \right) + \left( \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} \right) + \dots$$e^x$ के टेलर श्रेणी विस्तार में $x = -1$ रखने पर:$e^{-1} = \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \dots = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots$अतः,योग $e^{-1} = 1/e$ है।

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(2n+1)!}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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