frac{1}{2!} + frac{1+2}{3!} + frac{1+2+3}{4!} | vedclass

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Question

(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{1+2+3+\ldots+n}{(n+1)!}$ है।प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग का उपयोग करने पर,$T_n = \frac{n(n+1)}{2(n+1)!} =

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$\frac{e}{2}$

Vedclass · Answer

(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{1+2+3+\ldots+n}{(n+1)!}$ है।प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग का उपयोग करने पर,$T_n = \frac{n(n+1)}{2(n+1)!} = \frac{n(n+1)}{2(n+1)n(n-1)!} = \frac{1}{2(n-1)!}$।$n=1$ से $\infty$ तक योग करने पर:$S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2(n-1)!} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!}$।मान लीजिए $k = n-1$,तब जब $n=1, k=0$ और जब $n 	o \infty, k 	o \infty$।$S = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \ldots ight) = \frac{1}{2} e$।अतः,योग $\frac{e}{2}$ है।

$\frac{1}{2!} + \frac{1+2}{3!} + \frac{1+2+3}{4!} + \ldots$ का मान ज्ञात कीजिए :

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यदि $S_n$ प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के दो-दो के गुणनफलों का योग दर्शाता है,तो $\sum\limits_{n = 0}^\infty \frac{S_n}{(n + 1)!} = $

$\frac{\frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots \infty}{1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \frac{1}{7!} + \dots \infty} = $

$\left( {1 + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{4!}} + \dots} \right) \left( {1 + \frac{1}{{3!}} + \frac{1}{{5!}} + \dots} \right) = $

${e^{e^x}}$ के विस्तार में ${x^r}$ का गुणांक क्या है?

$1 + \frac{2}{3!} + \frac{3}{5!} + \frac{4}{7!} + \dots \infty = \,$

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