int_{-pi}^pi frac{2 x(1+sin x)}{1+cos ^2 x} d | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x(1+\sin x)}{1+\cos^2 x} dx$.આ સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:$I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x}{1+\cos^2 x

Vedclass · Accepted Answer

$\pi^2$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x(1+\sin x)}{1+\cos^2 x} dx$.આ સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:$I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x}{1+\cos^2 x} dx + \int_{-\pi}^\pi \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x} dx = I_1 + I_2$.$I_1 = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x}{1+\cos^2 x} dx$ માટે,ધારો કે $f(x) = \frac{2x}{1+\cos^2 x}$.કારણ કે $f(-x) = \frac{2(-x)}{1+\cos^2(-x)} = -\frac{2x}{1+\cos^2 x} = -f(x)$,તેથી $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.તેથી,$I_1 = 0$.$I_2 = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x} dx$ માટે,ધારો કે $g(x) = \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x}$.કારણ કે $g(-x) = \frac{2(-x)\sin(-x)}{1+\cos^2(-x)} = \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x} = g(x)$,તેથી $g(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે.તેથી,$I_2 = 2 \int_0^\pi \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x} dx = 4 \int_0^\pi \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I_2 = 4 \int_0^\pi \frac{(\pi-x)\sin(\pi-x)}{1+\cos^2(\pi-x)} dx = 4 \int_0^\pi \frac{(\pi-x)\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.$I_2$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:$2I_2 = 4 \int_0^\pi \frac{\pi\sin x}{1+\cos^2 x} dx = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.ધારો કે $u = \cos x$,તો $du = -\sin x dx$.જ્યારે $x=0, u=1$; જ્યારે $x=\pi, u=-1$.$2I_2 = 4\pi \int_1^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = 4\pi \int_{-1}^1 \frac{du}{1+u^2} = 4\pi [	an^{-1} u]_{-1}^1$.$2I_2 = 4\pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = 4\pi (\frac{\pi}{2}) = 2\pi^2$.આમ,$I_2 = \pi^2$.અંતે,$I = I_1 + I_2 = 0 + \pi^2 = \pi^2$.

$\int_{-\pi}^\pi \frac{2 x(1+\sin x)}{1+\cos ^2 x} d x=$

Similar Questions

$\int_{ - 1}^1 {\log \left( \frac{2 - x}{2 + x} \right)\,dx} = $

$\int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x}{1+\cos x+\sin x} d x=$

$\int_{-\pi}^{\pi} (1-x^2) \sin x \cdot \cos^2 x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x+4 \sin ^2 x} d x=$

જો ${I_n} = \int_0^{\pi /4} {{\tan ^n}\theta \,d\theta }$ હોય,તો ${I_8} + {I_6}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module