int_0^pi frac{x sin x}{sin ^2 x+2 cos ^2 x} d | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{x \sin x}{\sin^2 x + 2 \cos^2 x} dx$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = \int_0^\pi

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi^2}{4}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{x \sin x}{\sin^2 x + 2 \cos^2 x} dx$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \sin(\pi - x)}{\sin^2(\pi - x) + 2 \cos^2(\pi - x)} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \sin x}{\sin^2 x + 2 \cos^2 x} dx$. $I$ માટેના બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2I = \int_0^\pi \frac{x \sin x + (\pi - x) \sin x}{\sin^2 x + 2 \cos^2 x} dx = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{\sin^2 x + 2 \cos^2 x} dx$. $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ હોવાથી,છેદ $1 - \cos^2 x + 2 \cos^2 x = 1 + \cos^2 x$ થાય છે. $2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$. ધારો કે $u = \cos x$,તો $du = -\sin x dx$. જ્યારે $x=0, u=1$; જ્યારે $x=\pi, u=-1$. $2I = \pi \int_1^{-1} \frac{-du}{1 + u^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{du}{1 + u^2} = \pi [	an^{-1} u]_{-1}^1$. $2I = \pi (	an^{-1}(1) - 	an^{-1}(-1)) = \pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \pi (\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{2}$. તેથી,$I = \frac{\pi^2}{4}$.

$\int_0^\pi \frac{x \sin x}{\sin ^2 x+2 \cos ^2 x} d x=$

Similar Questions

નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{x^2 \ln x}{(1+x^2)^3} dx$

જો $g(x)$ એ $f(x)$ નું પ્રતિવિધેય હોય અને $f(x)$ નો પ્રદેશ $x \in [1, 5]$ હોય,જ્યાં $f(1) = 2$ અને $f(5) = 10$,તો $\int_{1}^{5} f(x) dx + \int_{2}^{10} g(y) dy$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{2a} f(x) \, dx = $

જો શૂન્યતર $x$ માટે,$af(x) + bf\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{x} - 5,$ જ્યાં $a \ne b,$ હોય,તો $\int_1^2 {f(x)\,dx = } $

$\int_{0}^{\pi} [\cot x] dx = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module