int_{0}^{pi} [cot x] dx = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi} [\cot x] dx$. ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $I = \int_{0}^{\pi}

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi} [\cot x] dx$. ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $I = \int_{0}^{\pi} [\cot(\pi - x)] dx = \int_{0}^{\pi} [-\cot x] dx$. $I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા: $2I = \int_{0}^{\pi} ([\cot x] + [-\cot x]) dx$. આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $y 
otin \mathbb{Z}$ માટે,$[y] + [-y] = -1$ થાય છે,અને $y \in \mathbb{Z}$ માટે,$[y] + [-y] = 0$ થાય છે. વિધેય $\cot x$ એ $x=0, \pi/2, \pi$ પર વ્યાખ્યાયિત નથી. $x=\pi/2$ પર,$\cot x = 0$ હોવાથી $[0] + [0] = 0$ થાય છે. બાકીના તમામ $x \in (0, \pi)$ માટે,$\cot x$ પૂર્ણાંક નથી. આમ,$(0, \pi)$ માં લગભગ દરેક જગ્યાએ $[\cot x] + [-\cot x] = -1$ થાય છે. $2I = \int_{0}^{\pi} (-1) dx = -\pi$. તેથી,$I = -\frac{\pi}{2}$.

$\int_{0}^{\pi} [\cot x] dx = $

Similar Questions

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\sin \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)}{\cos x+\sin x} d x=$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cot x}{\operatorname{cosec} x+\cos x} d x=$

જો $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2 x}{1+\sin x \cos x} dx = \frac{1}{a} \log_e\left(\frac{a}{3}\right) + \frac{\pi}{b \sqrt{3}}$,જ્યાં $a, b \in N$,તો $a+b$ ની કિંમત .................... છે.

$\int_{0}^{100} e^{x-[x]} d x$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module