$a, b, c$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $|a|=3, |b|=5, |c|=7$ है। यदि $a, b, c$ क्रमशः $b+c, c+a, a+b$ सदिशों पर लंब हैं,तो $\sqrt{(a+b+c)^2-2}=$

जिनके शीर्ष $P, Q, R, S$ के स्थिति सदिश क्रमशः $-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, -\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ हैं,उस आयत का क्षेत्रफल क्या है?

यदि $\alpha=\hat{i}-3 \hat{j}$ और $\beta=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ है,तो $\beta$ को $\beta=\beta_1+\beta_2$ के रूप में व्यक्त करें,जहाँ $\beta_1$,$\alpha$ के समांतर है और $\beta_2$,$\alpha$ के लंबवत है। तो $\beta_1$ का मान क्या है?

मान लीजिए $\overrightarrow{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,और $\overrightarrow{b}$ तथा $\overrightarrow{c}$ दो शून्येतर सदिश इस प्रकार हैं कि $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = |\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|$ और $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ है। निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
$(A)$ सभी $\lambda \in R$ के लिए $|\overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{c}| \geq |\overrightarrow{a}|$.
$(B)$ $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{c}$ हमेशा समांतर हैं।

$a = 4 \hat{i} + 3 \hat{j}$ और $b$ $XOY$ समतल में दो सदिश हैं, और $a$, $b$ के लंबवत है। उसी समतल में स्थित और क्रमशः $a$ और $b$ पर $1$ और $2$ प्रक्षेप वाला सदिश $c$ क्या है?

मान लीजिए $x = \hat{i} + \hat{j}$ और $y = 3\hat{i} - 2\hat{k}$ है। तब, $\sqrt{21}$ परिमाण वाला सदिश $r$ जो $r \times x = y \times x$ और $r \times y = x \times y$ को संतुष्ट करता है, वह है