$a$ અને $b$ એ ઉપવલયના અર્ધ-મુખ્ય અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષો છે જેના અક્ષો યામ અક્ષો પર છે. જો તેના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $4$ એકમ હોય અને તેના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $4 \sqrt{2}$ હોય,તો $a^2+b^2=$

ઉપવલય $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{8} = 1$ પર,રેખા $2x - 3y + 25 = 0$ ની સૌથી નજીકનું બિંદુ $M$ કયું છે?

ધારો કે $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(b < a)$ એ એક ઉપવલય છે જેની મુખ્ય અક્ષ $AB$ અને ગૌણ અક્ષ $CD$ છે. ધારો કે $F_1$ અને $F_2$ તેના બે નાભિઓ છે,જેમાં $A, F_1, F_2, B$ એ $AB$ રેખાખંડ પર તે ક્રમમાં છે. જો $\angle F_1CB = 90^{\circ}$ હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

એક ઉપવલય એવી રીતે દોરવામાં આવે છે કે જેથી વર્તૂળ $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ નો વ્યાસ એ ગૌણ અક્ષની અર્ધલંબાઈ છે અને વર્તૂળ $x^2 + (y - 2)^2 = 4$ નો વ્યાસ એ પ્રધાન અક્ષની અર્ધલંબાઈ છે. જો ઉપવલયનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર હોય અને તેની અક્ષો યામાક્ષો હોય,તો ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો.

શંકુ $36x^2 + 144y^2 - 36x - 96y - 119 = 0$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

ધારો કે $\frac{x^2}{f(a^2 + 7a + 3)} + \frac{y^2}{f(3a + 15)} = 1$ એ y-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતું ઉપવલય દર્શાવે છે, જ્યાં $f$ એ $R$ પર ઘટતું વિધેય છે. જો $a$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો ગણ $R - [\alpha, \beta]$ હોય, તો $\alpha^2 + \beta^2$ ની કિંમત શોધો: