lim _{x rightarrow 0} frac{left(2^x-1right)(1 | vedclass

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Question

(D) हमें सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(2^x-1\right)(1+\sin x)^{\frac{2}{\sin x}}}{\log (1+2 x)}$ का मूल्यांकन करना है।सबसे पहले,पद $(1

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$e^2 \log \sqrt{2}$

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(D) हमें सीमा $L = \lim _{x ightarrow 0} \frac{\left(2^x-1ight)(1+\sin x)^{\frac{2}{\sin x}}}{\log (1+2 x)}$ का मूल्यांकन करना है।सबसे पहले,पद $(1+\sin x)^{\frac{2}{\sin x}}$ पर विचार करें। जैसे $x ightarrow 0$,$\sin x ightarrow 0$,इसलिए यह $(1+u)^{2/u}$ के रूप में है जहाँ $u = \sin x$ है। हम जानते हैं कि $\lim _{u ightarrow 0} (1+u)^{1/u} = e$,इसलिए $\lim _{x ightarrow 0} (1+\sin x)^{\frac{2}{\sin x}} = e^2$ है।अब,सीमा को इस प्रकार लिखें:$L = \lim _{x ightarrow 0} \left( \frac{2^x-1}{\log(1+2x)} ight) 	imes \lim _{x ightarrow 0} (1+\sin x)^{\frac{2}{\sin x}}$.मानक सीमाओं $\lim _{x ightarrow 0} \frac{a^x-1}{x} = \log a$ और $\lim _{x ightarrow 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$ का उपयोग करते हुए:$\lim _{x ightarrow 0} \frac{2^x-1}{\log(1+2x)} = \lim _{x ightarrow 0} \left( \frac{2^x-1}{x} \cdot \frac{2x}{\log(1+2x)} \cdot \frac{1}{2} ight) = \log 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{\log 2}{2} = \log \sqrt{2}$ है।अतः,$L = \log \sqrt{2} \cdot e^2 = e^2 \log \sqrt{2}$ है।इसलिए,विकल्प $(D)$ सही है।

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(2^x-1\right)(1+\sin x)^{\frac{2}{\sin x}}}{\log (1+2 x)} = $

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