int left( frac{1-log x}{1+(log x)^2} right)^2 | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \left( \frac{1-\log x}{1+(\log x)^2} \right)^2 dx$. $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर, $x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है।

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{x}{1+(\log x)^2}+c$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \left( \frac{1-\log x}{1+(\log x)^2} \right)^2 dx$. $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर, $x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है। अतः, $I = \int \left( \frac{1-t}{1+t^2} \right)^2 e^t dt$. यह $\int e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t f(t) + c$ के रूप में है। यहाँ $I = \int e^t \frac{1-2t+t^2}{(1+t^2)^2} dt = \int e^t \left( \frac{1+t^2-2t}{(1+t^2)^2} \right) dt = \int e^t \left( \frac{1}{1+t^2} - \frac{2t}{(1+t^2)^2} \right) dt$. यदि $f(t) = \frac{1}{1+t^2}$ है, तो $f'(t) = \frac{-2t}{(1+t^2)^2}$ होगा। अतः, $I = e^t \left( \frac{1}{1+t^2} \right) + c$. $t = \log x$ वापस रखने पर, $I = \frac{e^{\log x}}{1+(\log x)^2} + c = \frac{x}{1+(\log x)^2} + c$ प्राप्त होता है।

$\int \left( \frac{1-\log x}{1+(\log x)^2} \right)^2 dx = $

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फलन का समाकलन कीजिए : $e^{x}(\sin x + \cos x)$

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