int (log x)^3 dx = | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int (\log x)^3 dx$ है। $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर, $x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है। अतः, $I = \int t^3 e^t dt$। खंडशः

Vedclass · Accepted Answer

$x [(\log x)^3 - 3(\log x)^2 + 6 \log x - 6] + c$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int (\log x)^3 dx$ है। $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर, $x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है। अतः, $I = \int t^3 e^t dt$। खंडशः समाकलन के सूत्र $\int e^t f(t) dt = e^t [f(t) - f'(t) + f''(t) - f'''(t) + \dots]$ का उपयोग करने पर, जहाँ $f(t) = t^3$: $f'(t) = 3t^2$, $f''(t) = 6t$, और $f'''(t) = 6$। इसलिए, $I = e^t [t^3 - 3t^2 + 6t - 6] + C$। $t = \log x$ और $e^t = x$ का मान वापस रखने पर: $I = x [(\log x)^3 - 3(\log x)^2 + 6 \log x - 6] + C$।

$\int (\log x)^3 dx = $

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