int frac{cos 2 x cdot sin 4 x}{cos ^4 xleft(1 | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \frac{\cos 2x \sin 4x}{\cos^4 x (1 + \cos^2 2x)} dx$. $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$ और $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ का उपयोग

Vedclass · Accepted Answer

$\log \left(\frac{(1+\cos 2 x)^2}{1+\cos ^2 2 x}\right)+\sec ^2 x+c$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int \frac{\cos 2x \sin 4x}{\cos^4 x (1 + \cos^2 2x)} dx$. $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$ और $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर, $\cos^4 x = \frac{(1 + \cos 2x)^2}{4}$ प्राप्त होता है। इन मानों को रखने पर, $I = \int \frac{\cos 2x (2 \sin 2x \cos 2x)}{\frac{(1 + \cos 2x)^2}{4} (1 + \cos^2 2x)} dx = 8 \int \frac{\cos^2 2x \sin 2x}{(1 + \cos 2x)^2 (1 + \cos^2 2x)} dx$. माना $t = \cos 2x$, तब $dt = -2 \sin 2x dx$, अर्थात $\sin 2x dx = -\frac{dt}{2}$. $I = 8 \int \frac{t^2}{(1+t)^2 (1+t^2)} (-\frac{dt}{2}) = -4 \int \frac{t^2}{(1+t)^2 (1+t^2)} dt$. आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करने पर: $\frac{t^2}{(1+t)^2 (1+t^2)} = \frac{A}{1+t} + \frac{B}{(1+t)^2} + \frac{Ct+D}{1+t^2}$. हल करने पर $A = 0, B = -1/2, C = 1/2, D = 1/2$ प्राप्त होता है। $I = -4 \int (-\frac{1}{2(1+t)^2} + \frac{t+1}{2(1+t^2)}) dt = 2 \int \frac{1}{(1+t)^2} dt - 2 \int \frac{t}{1+t^2} dt - 2 \int \frac{1}{1+t^2} dt$. $I = -\frac{2}{1+t} - \log(1+t^2) - 2 	an^{-1}(t) + c$. $t = \cos 2x$ रखकर सरल करने पर सही विकल्प प्राप्त होता है।

$\int \frac{\cos 2 x \cdot \sin 4 x}{\cos ^4 x\left(1+\cos ^2 2 x\right)} d x=$

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$\int (1+\tan^2 x)(1+2x \tan x) dx =$

यदि $f(x)$ का प्रति-अवकलज (antiderivative) $e^x$ है और $g(x)$ का प्रति-अवकलज $\cos x$ है, तो $\int f(x) \cos x \, dx + \int g(x) e^x \, dx =$

$\int (\sin^{-1} x + \cos^{-1} x) \, dx = $

यदि $I_n = \int \tan^n x \ dx$,और $I_0 + I_1 + 2 I_2 + 2 I_3 + 2 I_4 + I_5 + I_6 = \sum_{K=1}^n \frac{\tan^K x}{K}$,तो $n = $

यदि $\int \frac{dx}{\cos^3 x \sqrt{2 \sin 2x}} = (\tan x)^A + C(\tan x)^B + K$,जहाँ $K$ समाकलन का एक स्थिरांक है,तो $5(A+B+C)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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