यदि $I_n = \int \tan^n x \ dx$,और $I_0 + I_1 + 2 I_2 + 2 I_3 + 2 I_4 + I_5 + I_6 = \sum_{K=1}^n \frac{\tan^K x}{K}$,तो $n = $

समाकलन $\int \frac{\sin \theta \cdot \sin 2 \theta \left(\sin ^{6} \theta+\sin ^{4} \theta+\sin ^{2} \theta\right) \sqrt{2 \sin ^{4} \theta+3 \sin ^{2} \theta+6}}{1-\cos 2 \theta} d \theta$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है)।

$\int {\frac{{{{\sin }^{ - 1}}x - {{\cos }^{ - 1}}x}}{{{{\sin }^{ - 1}}x + {{\cos }^{ - 1}}x}}} dx = $

मान लीजिए $g:(0, \infty) \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है ताकि $\int \left( \frac{x(\cos x - \sin x)}{e^x + 1} + \frac{g(x)(e^x + 1 - x e^x)}{(e^x + 1)^2} \right) dx = \frac{x g(x)}{e^x + 1} + c$ सभी $x > 0$ के लिए,जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है। तो:

मान लीजिए कि $x > 0$ एक निश्चित वास्तविक संख्या है। तो,समाकलन $\int \limits_0^{\infty} e^{-t}|x-t| d t$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{\tan^{-1} x - \cot^{-1} x}{\tan^{-1} x + \cot^{-1} x} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।