int frac{log x}{(1+x)^3} d x= | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \frac{\log x}{(1+x)^3} dx$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए, $u = \log x$ और $dv = (1+x)^{-3} dx$ लें। तब $du

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$\frac{1}{2}\left[\frac{1}{1+x}-\frac{\log x}{(1+x)^2}+\log \left(\frac{x}{1+x}\right)\right]+c$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int \frac{\log x}{(1+x)^3} dx$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए, $u = \log x$ और $dv = (1+x)^{-3} dx$ लें। तब $du = \frac{1}{x} dx$ और $v = \int (1+x)^{-3} dx = -\frac{1}{2(1+x)^2}$। सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर: $I = -\frac{\log x}{2(1+x)^2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x(1+x)^2} dx$। $\frac{1}{x(1+x)^2}$ के लिए आंशिक भिन्न (Partial fractions) का उपयोग करने पर: $\frac{1}{x(1+x)^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^2}$। अतः समाकलन करने पर: $\log|x| - \log|1+x| + \frac{1}{1+x} = \log\left|\frac{x}{1+x}\right| + \frac{1}{1+x}$। मान रखने पर: $I = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1+x} - \frac{\log x}{(1+x)^2} + \log\left|\frac{x}{1+x}\right| \right] + c$।

$\int \frac{\log x}{(1+x)^3} d x=$

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