int(sqrt{1-sin x}+sqrt{1+sin x}) dx =f(x)+c, | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $I = \int(\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x}) dx$.
चूंकि $1-\sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$ और $1+\sin x = (\cos \frac

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$1$

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(A) दिया गया है $I = \int(\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x}) dx$.
चूंकि $1-\sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$ और $1+\sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$, इसलिए $\sqrt{1-\sin x} = |\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}|$ और $\sqrt{1+\sin x} = |\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}|$.
$\frac{5 \pi}{2} < x < \frac{7 \pi}{2}$ के लिए, $\frac{5 \pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{7 \pi}{4}$ होता है।
इस अंतराल में, $\cos \frac{x}{2} < 0$ और $\sin \frac{x}{2} < 0$, और विशेष रूप से $\cos \frac{x}{2} < \sin \frac{x}{2}$ है।
अतः, $\sqrt{1-\sin x} = \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}$ और $\sqrt{1+\sin x} = -(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})$.
$I = \int (\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) dx = \int -2 \cos \frac{x}{2} dx = -4 \sin \frac{x}{2} + C$.
इसलिए $f(x) = -4 \sin \frac{x}{2}$.
तब $f'(x) = -2 \cos \frac{x}{2}$.
$f'(\frac{8 \pi}{3}) = -2 \cos \frac{4 \pi}{3} = -2 (-\frac{1}{2}) = 1$.

$\int(\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x}) dx =f(x)+c$, जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है। यदि $\frac{5 \pi}{2}$

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माना $f(x)$,$\cos^3 x$ का एक अनिश्चित समाकल है।
कथन $1$: $f(x)$,$\pi$ आवर्तकाल का एक आवर्ती फलन है।
कथन $2$: $\cos^3 x$ एक आवर्ती फलन है।

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