$\int_0^{\pi / 4} [\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}] \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $\alpha \in (0,1)$ और $\beta = \log_{e}(1-\alpha)$ है। माना $P_n(x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \dots + \frac{x^n}{n}$ जहाँ $x \in (0,1)$ है। तो समाकलन $\int_{0}^{\alpha} \frac{t^{50}}{1-t} dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

व्यंजक $\frac{\int_0^n [x] dx}{\int_0^n \{x\} dx}$, जहाँ $[x]$ और $\{x\}$ क्रमशः $x$ का पूर्णांक और भिन्नात्मक भाग हैं और $n \in N$ है, किसके बराबर है?

एक वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$[x]$ को $x$ से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक और $\{x\} = x - [x]$ मानें। यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,तो $\int_0^n \cos(2 \pi [x] \{x\}) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलन $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x+\cos x}{9+16 \sin 2 x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \limits_{\frac{3 \sqrt{2}}{4}}^{\frac{3 \sqrt{3}}{4}} \frac{48}{\sqrt{9-4 x^2}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।