int_0^pi (sin^3 x + cos^2 x)^2 dx = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int_0^\pi (\sin^3 x + \cos^2 x)^2 dx$. ગુણધર્મ $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા, જો $f(2a-x) = f(x)$ હોય, તો

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{11\pi}{16} + \frac{4}{15}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int_0^\pi (\sin^3 x + \cos^2 x)^2 dx$. ગુણધર્મ $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા, જો $f(2a-x) = f(x)$ હોય, તો આપણે જોઈએ છીએ કે $(\sin^3(\pi-x) + \cos^2(\pi-x))^2 = (\sin^3 x + \cos^2 x)^2$. તેથી, $I = 2 \int_0^{\pi/2} (\sin^6 x + \cos^4 x + 2 \sin^3 x \cos^2 x) dx$. વોલિસના સૂત્ર $\int_0^{\pi/2} \sin^n x dx = \int_0^{\pi/2} \cos^n x dx = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}$ (જ્યારે $n$ બેકી હોય) અથવા $\frac{(n-1)!!}{n!!}$ (જ્યારે $n$ એકી હોય) નો ઉપયોગ કરતા: $I = 2 [ \int_0^{\pi/2} \sin^6 x dx + \int_0^{\pi/2} \cos^4 x dx + 2 \int_0^{\pi/2} \sin^3 x \cos^2 x dx ]$. $I = 2 [ (\frac{5 \cdot 3 \cdot 1}{6 \cdot 4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2}) + (\frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2}) + 2 \int_0^{\pi/2} (1-\cos^2 x) \cos^2 x \sin x dx ]$. ધારો કે $u = \cos x$, તો $du = -\sin x dx$. $2 \int_0^{\pi/2} (1-\cos^2 x) \cos^2 x \sin x dx = 2 \int_0^1 (u^2 - u^4) du = 2 [\frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5}]_0^1 = 2(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = 2(\frac{2}{15}) = \frac{4}{15}$. $I = 2 [ \frac{5\pi}{32} + \frac{3\pi}{16} ] + \frac{4}{15} = 2 [ \frac{5\pi + 6\pi}{32} ] + \frac{4}{15} = \frac{11\pi}{16} + \frac{4}{15}$.

$\int_0^\pi (\sin^3 x + \cos^2 x)^2 dx = $

Similar Questions

$\int_0^{\pi /2} \sin^4 x \cos^6 x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-5 \pi}^{5 \pi} (1-\cos 2x)^{\frac{5}{2}} dx =$

જો $f(x) = \int_{0}^{x} t \sin t \,dt$ હોય,તો $f^{\prime}(x)$ શું થાય?

જો $\int_0^x {f(t)\,dt} = x + \int_x^1 {t\,f(t)\,dt,}$ હોય,તો $f(1)$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{\pi/6} \cos^4 3\theta \cdot \sin^2 6\theta \, d\theta$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module