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Question

(C) हम जानते हैं कि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ होता है।इस मान को सीमा व्यंजक में रखने

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$\frac{1}{3}$

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(C) हम जानते हैं कि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ होता है।इस मान को सीमा व्यंजक में रखने पर:$\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \left[ {\frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{{6{n^3}}}} ight]$$= \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{n}{n} \cdot \frac{(n + 1)}{n} \cdot \frac{(2n + 1)}{n} \cdot \frac{1}{6}$$= \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \left( 1 ight) \left( 1 + \frac{1}{n} ight) \left( 2 + \frac{1}{n} ight) \cdot \frac{1}{6}$$= 1 \cdot (1 + 0) \cdot (2 + 0) \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.अतः,सही विकल्प $C$ है।

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{{\sum_{k=1}^{n} {k^2}}}{{{n^3}}}} \right] = $

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यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{2}{5-x}, & x < 3 \\ 5-x, & x > 3 \end{cases}$,तो:

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin[x]}{[x]}, & [x] \neq 0 \\ 0, & [x] = 0 \end{cases}$ जहाँ $[x]$,$x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है,तो $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ है:

$\mathop {\lim}\limits_{x \to 1} \left[ {\left[ {\frac{4}{{{x^2} - {x^{ - 1}}}} - \frac{{1 - 3x + {x^2}}}{{1 - {x^3}}}} \right]^{ - 1} + \frac{{3 \cdot ({x^4} - 1)}}{{{x^3} - {x^{ - 1}}}}} \right] = $

$\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sqrt{a+2 x}-\sqrt{3 a}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}} = $

सीमा ज्ञात कीजिए: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[\frac{x^{3}-2 x^{2}}{x^{2}-5 x+6}\right]$

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