lim _{n rightarrow infty} frac{1}{n^{k+1}}lef | vedclass

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Question

(C) दिया गया सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{k+1}} \sum_{r=1}^{n} (2r)^k$ है। हम इसे $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2^k}{k+1}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{k+1}} \sum_{r=1}^{n} (2r)^k$ है। हम इसे $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \left(\frac{2r}{n}\right)^k$ के रूप में लिख सकते हैं। रीमान योग की सीमा के रूप में निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए, $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) dx$। यहाँ, $f(x) = (2x)^k$ है। अतः, $L = \int_{0}^{1} (2x)^k dx = 2^k \int_{0}^{1} x^k dx$। समाकल का मान ज्ञात करने पर, $L = 2^k \left[ \frac{x^{k+1}}{k+1} \right]_{0}^{1} = 2^k \left( \frac{1}{k+1} - 0 \right) = \frac{2^k}{k+1}$।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{k+1}}\left[2^k+4^k+6^k+\ldots+(2 n)^k\right]=$

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मान लीजिए $[ \cdot ]$ महत्तम पूर्णांक फलन है और $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n \left[ \frac{k^2}{3^x} \right]$. तो $12 \sum_{j=1}^{\infty} f(j)$ का मान ........... है।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} [(n+1)(n+2) \cdots (2n)]^{\frac{1}{n}} = $

यदि $f(n) = \frac{1}{n} [(n+1)(n+2)(n+3) \ldots (2n)]^{\frac{1}{n}}$ है, तो $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n) =$

$\int_0^3 (2+x^2) dx = $

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