mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{e^{{x^2}} | vedclass

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Question

(A) हमें $\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{{e^{{x^2}}} - \cos x}}{{{x^2}}}$ का मान ज्ञात करना है।${e^{{x^2}}}$ और $\cos x$ के लिए टेलर श्रेणी क

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$\frac{3}{2}$

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(A) हमें $\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{{e^{{x^2}}} - \cos x}}{{{x^2}}}$ का मान ज्ञात करना है।${e^{{x^2}}}$ और $\cos x$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर:${e^{{x^2}}} = 1 + {x^2} + \frac{{{x^4}}}{{2!}} + \dots$$\cos x = 1 - \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^4}}}{{4!}} - \dots$इन मानों को सीमा में रखने पर:$\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{(1 + {x^2} + \frac{{{x^4}}}{2} + \dots) - (1 - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^4}}}{{24}} - \dots)}}{{{x^2}}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{{x^2} + \frac{{{x^2}}}{2} + O({x^4})}}{{{x^2}}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} (1 + \frac{1}{2} + O({x^2})) = \frac{3}{2}$.वैकल्पिक रूप से,$L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर:$\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{{e^{{x^2}}} - \cos x}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{2x{e^{{x^2}}} + \sin x}}{{2x}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \left( {e^{{x^2}}} + \frac{{\sin x}}{{2x}} ight)$$= 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{{x^2}}} - \cos x}}{{{x^2}}} = $

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मान लीजिए $f(x)$ एक अवकलनीय फलन है और $f^{\prime}(4)=5$ है। तब, $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(4) - f\left(x^{2}\right)}{x-2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2x - \cos 3x}{\cos 4x - \cos 5x} = $

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+\frac{x}{2}\right)^{5 / 7}-1}{x} = $

यदि $f(a) = 2$,$f'(a) = 1$,$g(a) = -3$,$g'(a) = -1$ है,तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \,\frac{f(a)g(x) - f(x)g(a)}{x - a} = $

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