$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{x + 2}}{{x + 1}}} \right)^{x + 3}}$ का मान है

मान लीजिए कि $S$ सभी $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ का समुच्चय है ताकि $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin(x^2)(\log_e x)^\alpha \sin(1/x^2)}{x^{\alpha \beta}(\log_e(1+x))^\beta} = 0$ हो। तो निम्नलिखित में से कौन सा (से) सही है (हैं)?

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n(2 n+1)^2}{(n+2)(n^2+3 n-1)}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^2}\sin \frac{1}{x} - x}}{{1 - |x|}}$ का मान है

यदि $\lim _{x \rightarrow 0}(2-\cos x \sqrt{\cos 2 x})^{\left(\frac{x+2}{x^{2}}\right)}$ का मान $e^{a}$ के बराबर है,तो $a$ का मान $.....$ है।

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = [x-3] + |x-4|$ द्वारा $x \in R$ के लिए परिभाषित किया गया है,तो $\lim_{x \rightarrow 3^{-}} f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।