int 2^{x} [f^{prime}(x) + f(x) log 2] , dx का | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int 2^{x} [f^{\prime}(x) + f(x) \log 2] \, dx$.हम जानते हैं कि दो फलनों के गुणनफल का अवकलन गुणन नियम द्वारा दिया जाता है: $\frac{d}{dx}

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$2^{x} f(x) + C$

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(C) माना $I = \int 2^{x} [f^{\prime}(x) + f(x) \log 2] \, dx$.हम जानते हैं कि दो फलनों के गुणनफल का अवकलन गुणन नियम द्वारा दिया जाता है: $\frac{d}{dx} [u(x)v(x)] = u(x)v^{\prime}(x) + v(x)u^{\prime}(x)$.फलन $g(x) = 2^{x} f(x)$ पर विचार करें।गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $g(x)$ का अवकलन करने पर:$g^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(2^{x}) \cdot f(x) + 2^{x} \cdot \frac{d}{dx}(f(x))$$g^{\prime}(x) = 2^{x} \log 2 \cdot f(x) + 2^{x} f^{\prime}(x)$$g^{\prime}(x) = 2^{x} [f^{\prime}(x) + f(x) \log 2]$.चूंकि समाकल्य $g(x)$ का अवकलज है, इसलिए हमें प्राप्त होता है:$I = \int g^{\prime}(x) \, dx = g(x) + C = 2^{x} f(x) + C$.

$\int 2^{x} [f^{\prime}(x) + f(x) \log 2] \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int \frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2}\left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}\right)^2+\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right] d x$,जहाँ $x>0$ है,का मान है

$\int \left[ \frac{1}{\log x} - \frac{1}{(\log x)^2} \right] dx =$

$\int e^x \left(\frac{x+2}{x+4}\right)^2 dx =$

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