int frac{dx}{x(x+1)} का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ | vedclass

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Question

(B) समाकलन $\int \frac{dx}{x(x+1)}$ का मूल्यांकन करने के लिए, हम आंशिक भिन्न (partial fractions) की विधि का उपयोग करते हैं।हम समाकल्य को इस प्रकार लिख

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$\ln \left|\frac{x}{x+1}\right|+c$

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(B) समाकलन $\int \frac{dx}{x(x+1)}$ का मूल्यांकन करने के लिए, हम आंशिक भिन्न (partial fractions) की विधि का उपयोग करते हैं।हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$.$x(x+1)$ से गुणा करने पर, हमें $1 = A(x+1) + Bx$ प्राप्त होता है।$x = 0$ रखने पर, हमें $A = 1$ प्राप्त होता है।$x = -1$ रखने पर, हमें $B = -1$ प्राप्त होता है।अतः, $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$.अब, प्रत्येक पद का समाकलन करने पर: $\int \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right) dx = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x+1} dx$.इससे हमें $\ln |x| - \ln |x+1| + c$ प्राप्त होता है।लघुगणक के गुणधर्म $\ln a - \ln b = \ln \left|\frac{a}{b}\right|$ का उपयोग करने पर, हमें $\ln \left|\frac{x}{x+1}\right| + c$ प्राप्त होता है।

$\int \frac{dx}{x(x+1)}$ का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है।

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