mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{e^x} - {e | vedclass

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Question

(C) माना $y = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{\sin x}}$.$e^x$ और $e^{-x}$ के लिए श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:$e^x =

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$2$

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(C) माना $y = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{\sin x}}$.$e^x$ और $e^{-x}$ के लिए श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots$दोनों श्रेणियों को घटाने पर:$e^x - e^{-x} = 2 \left( x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots ight)$इसे सीमा में रखने पर:$y = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{2 \left( x + \frac{x^3}{6} + \dots ight)}{\sin x}$अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:$y = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{2 \left( 1 + \frac{x^2}{6} + \dots ight)}{\frac{\sin x}{x}}$चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{\sin x}{x} = 1$:$y = \frac{2(1 + 0)}{1} = 2$.वैकल्पिक रूप से,$L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर:$\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{\frac{d}{dx}({e^x} - {e^{ - x}})}{\frac{d}{dx}(\sin x)}$$= \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{\cos x}} = \frac{{{e^0} + {e^0}}}{{\cos 0}} = \frac{1 + 1}{1} = 2$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{\sin x}}$ का मान है

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$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\log x}}{{x - 1}} = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{2^x} - 1}}{{{{(1 + x)}^{1/2}} - 1}} = $

$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to {0^ + }} {(\sin \theta )^{(\sin \theta - {{\sin }^2}\theta )}}$ का मान क्या है?

यदि $f(a)=2, f^{\prime}(a)=1, g(a)=-1, g^{\prime}(a)=2$ है,तो जैसे ही $x, a$ के करीब पहुँचता है,$\frac{g(x) f(a)-g(a) f(x)}{x-a}$ का मान क्या होगा?

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2x - \cos 3x}{\cos 4x - \cos 5x} = $

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