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Question

(A) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{	heta  	o {0^ + }} {(\sin 	heta )^{\sin 	heta (1 - \sin 	heta )}}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर

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$1$

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(A) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{	heta  	o {0^ + }} {(\sin 	heta )^{\sin 	heta (1 - \sin 	heta )}}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln L = \mathop {\lim }\limits_{	heta  	o {0^ + }} \sin 	heta (1 - \sin 	heta ) \ln(\sin 	heta)$.जब $	heta 	o 0^+$,तब $\sin 	heta 	o 0$ और $\ln(\sin 	heta) 	o -\infty$. यह $0 	imes \infty$ अनिर्धारित रूप है।हम इसे $\ln L = \mathop {\lim }\limits_{	heta  	o {0^ + }} (1 - \sin 	heta ) \cdot \frac{\ln(\sin 	heta )}{\csc 	heta }$ के रूप में लिख सकते हैं।$\frac{\ln(\sin 	heta )}{\csc 	heta }$ पद के लिए $L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करने पर:$\mathop {\lim }\limits_{	heta  	o {0^ + }} \frac{\frac{1}{\sin 	heta } \cdot \cos 	heta }{-\csc 	heta \cot 	heta } = \mathop {\lim }\limits_{	heta  	o {0^ + }} \frac{\cot 	heta }{-\csc 	heta \cot 	heta } = \mathop {\lim }\limits_{	heta  	o {0^ + }} \frac{1}{-\csc 	heta } = \mathop {\lim }\limits_{	heta  	o {0^ + }} (-\sin 	heta ) = 0$.अतः,$\ln L = (1 - 0) \cdot 0 = 0$.इसलिए,$L = e^0 = 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to {0^ + }} {(\sin \theta )^{(\sin \theta - {{\sin }^2}\theta )}}$ का मान क्या है?

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