int (1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + dots) , dx = | vedclass

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Question

(B) दी गई श्रेणी $1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ है।यह गुणोत्तर श्रेणी $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = (1 - x)^{-1}$ का अवकल

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$(1 - x)^{-1} + c$

Vedclass · Answer

(B) दी गई श्रेणी $1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ है।यह गुणोत्तर श्रेणी $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = (1 - x)^{-1}$ का अवकलन है,जहाँ $|x| अतः,$1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots = \frac{d}{dx} (1 - x)^{-1} = (1 - x)^{-2}$ होता है।अब,इस व्यंजक का समाकलन करने पर:$\int (1 - x)^{-2} \, dx = \frac{(1 - x)^{-1}}{-1 \cdot (-1)} + c = (1 - x)^{-1} + c$.

$\int (1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots) \, dx = $

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यदि $\int \frac{e^x-1}{e^x+1} dx = f(x) + c$ है, तो $f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int \frac{x^{3}+5 x^{2}-4}{x^{2}} d x$

$\int {(\sin^4 x - \cos^4 x) \, dx} = $

$\int \left(\sum_{r=0}^{\infty} \frac{x^r 3^r}{r!}\right) dx =$

$\int \frac{d x}{x^{2}+2 x+2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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