int (1 - x^2) log x , dx = | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int (1 - x^2) \log x \, dx$ का मान ज्ञात करना है। वितरण गुणधर्म का उपयोग करके,हम इसे $I = \int \log x \, dx - \int x^2 \log x \,

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$\left( x - \frac{x^3}{3} \right) \log x - \left( x - \frac{x^3}{9} \right) + c$

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(A) हमें समाकलन $I = \int (1 - x^2) \log x \, dx$ का मान ज्ञात करना है। वितरण गुणधर्म का उपयोग करके,हम इसे $I = \int \log x \, dx - \int x^2 \log x \, dx$ के रूप में लिख सकते हैं। पहले भाग के लिए,$\int \log x \, dx = x \log x - x$ है। दूसरे भाग के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करते हैं। मान लीजिए $u = \log x$ और $dv = x^2 \, dx$ है। तब $du = \frac{1}{x} \, dx$ और $v = \frac{x^3}{3}$ होगा। अतः,$\int x^2 \log x \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9}$ है। इन परिणामों को संयोजित करने पर: $I = (x \log x - x) - \left( \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} \right) + c$। पदों को व्यवस्थित करने पर: $I = \left( x - \frac{x^3}{3} \right) \log x - x + \frac{x^3}{9} + c$। इसे $I = \left( x - \frac{x^3}{3} \right) \log x - \left( x - \frac{x^3}{9} \right) + c$ के रूप में लिखा जा सकता है।

$\int (1 - x^2) \log x \, dx = $

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$\int {\frac{{{{\cot }^{ - 1}}({e^x})}}{{{e^x}}}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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