यदि int f(x) , dx = g(x) है,तो int f^{-1}(x) | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $\int f(x) \, dx = g(x)$.हमें $\int f^{-1}(x) \, dx$ का मान ज्ञात करना है।खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान

Vedclass · Accepted Answer

$x f^{-1}(x) - g(f^{-1}(x))$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि $\int f(x) \, dx = g(x)$.हमें $\int f^{-1}(x) \, dx$ का मान ज्ञात करना है।खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = f^{-1}(x)$ और $dv = dx$ है। तब $du = \frac{d}{dx} f^{-1}(x) \, dx$ और $v = x$ होगा।$\int f^{-1}(x) \, dx = x f^{-1}(x) - \int x \frac{d}{dx} f^{-1}(x) \, dx$.मान लीजिए $f^{-1}(x) = t$,तब $x = f(t)$ और $dx = f'(t) \, dt$ होगा।साथ ही,$\frac{d}{dx} f^{-1}(x) \, dx = dt$ होगा।इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$\int f^{-1}(x) \, dx = x f^{-1}(x) - \int f(t) \, dt$.चूंकि $\int f(t) \, dt = g(t)$,इसलिए:$\int f^{-1}(x) \, dx = x f^{-1}(x) - g(t) = x f^{-1}(x) - g(f^{-1}(x))$.अतः,सही विकल्प $B$ है।

यदि $\int f(x) \, dx = g(x)$ है,तो $\int f^{-1}(x) \, dx$ किसके बराबर है?

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