int_0^{pi /4} sec^7 theta sin^3 theta , dthet | vedclass

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Question

(C) हमें समाकलन $I = \int_0^{\pi /4} \sec^7 	heta \sin^3 	heta \, d	heta$ दिया गया है। समाकल्य को इस प्रकार पुनः लिखने पर: $I = \int_0^{\pi /4} \fr

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$\frac{5}{12}$

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(C) हमें समाकलन $I = \int_0^{\pi /4} \sec^7 	heta \sin^3 	heta \, d	heta$ दिया गया है। समाकल्य को इस प्रकार पुनः लिखने पर: $I = \int_0^{\pi /4} \frac{\sin^3 	heta}{\cos^3 	heta} \cdot \sec^4 	heta \, d	heta = \int_0^{\pi /4} 	an^3 	heta \sec^4 	heta \, d	heta$. चूंकि $\sec^4 	heta = \sec^2 	heta \cdot \sec^2 	heta = (1 + 	an^2 	heta) \sec^2 	heta$,इसलिए समाकलन हो जाता है: $I = \int_0^{\pi /4} 	an^3 	heta (1 + 	an^2 	heta) \sec^2 	heta \, d	heta$. माना $t = 	an 	heta$,तब $dt = \sec^2 	heta \, d	heta$. जब $	heta = 0, t = 0$. जब $	heta = \pi /4, t = 1$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int_0^1 t^3 (1 + t^2) \, dt = \int_0^1 (t^3 + t^5) \, dt$. पद-दर-पद समाकलन करने पर: $I = \left[ \frac{t^4}{4} + \frac{t^6}{6} ight]_0^1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3 + 2}{12} = \frac{5}{12}$.

$\int_0^{\pi /4} \sec^7 \theta \sin^3 \theta \, d\theta = $

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