int_0^{2pi} e^{x/2} sin left( frac{x}{2} + fr | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_0^{2\pi} e^{x/2} \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \, dx$. $t = \frac{x}{2}$ આદેશ લેતા,$dt = \frac{1}{2} dx$ મળે,એ

Vedclass · Accepted Answer

$0$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_0^{2\pi} e^{x/2} \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \, dx$. $t = \frac{x}{2}$ આદેશ લેતા,$dt = \frac{1}{2} dx$ મળે,એટલે કે $dx = 2 dt$. જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 0$. જ્યારે $x = 2\pi$,ત્યારે $t = \pi$. તેથી,$I = \int_0^{\pi} e^t \sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right) (2 dt) = 2 \int_0^{\pi} e^t \sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right) dt$. પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^{at} \sin(bt + c) dt = \frac{e^{at}}{a^2 + b^2} [a \sin(bt + c) - b \cos(bt + c)]$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=1, b=1, c=\frac{\pi}{4}$: $I = 2 \left[ \frac{e^t}{1^2 + 1^2} (\sin(t + \frac{\pi}{4}) - \cos(t + \frac{\pi}{4})) \right]_0^{\pi}$. $I = 2 \left[ \frac{e^t}{2} (\sin(t + \frac{\pi}{4}) - \cos(t + \frac{\pi}{4})) \right]_0^{\pi} = [e^t (\sin(t + \frac{\pi}{4}) - \cos(t + \frac{\pi}{4}))]_0^{\pi}$. $t = \pi$ માટે: $e^{\pi} (\sin(\pi + \frac{\pi}{4}) - \cos(\pi + \frac{\pi}{4})) = e^{\pi} (-\sin \frac{\pi}{4} - (-\cos \frac{\pi}{4})) = e^{\pi} (-\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$. $t = 0$ માટે: $e^0 (\sin \frac{\pi}{4} - \cos \frac{\pi}{4}) = 1 (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$. આમ,$I = 0 - 0 = 0$.

$\int_0^{2\pi} e^{x/2} \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \, dx = $

Similar Questions

નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_{0}^{1} \left(1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} - \frac{x^{3}}{3!} + \cdots \infty\right) e^{2x} \, dx$.

નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_0^{\pi /2} \cos^2 x \, dx$

$12 \int \limits_0^3 \left| x^2 - 3x + 2 \right| dx$ નું મૂલ્ય $.............$ છે.

ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમનો ઉપયોગ કરીને $h=1$ સાથે $\int_0^4 \frac{d x}{1+x^2}$ સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા શું મળે?

નીચેના સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_{1}^{2} \frac{x \, dx}{(x+1)(x+2)}$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module