int_0^{pi /4} {log (1 + tan theta ),dtheta = | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^{\pi /4} \log (1 + 	an 	heta )\,d	heta$  गुणधर्म $\int_0^a f(x)dx = \int_0^a f(a-x)dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:

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$\frac{\pi }{8}\log 2$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_0^{\pi /4} \log (1 + 	an 	heta )\,d	heta$  गुणधर्म $\int_0^a f(x)dx = \int_0^a f(a-x)dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:  $I = \int_0^{\pi /4} \log \left( 1 + 	an \left( \frac{\pi }{4} - 	heta ight) ight) d	heta$  चूँकि $	an(A-B) = \frac{	an A - 	an B}{1 + 	an A 	an B}$,इसलिए $	an(\frac{\pi}{4} - 	heta) = \frac{1 - 	an 	heta}{1 + 	an 	heta}$  $I = \int_0^{\pi /4} \log \left( 1 + \frac{1 - 	an 	heta}{1 + 	an 	heta} ight) d	heta$  $I = \int_0^{\pi /4} \log \left( \frac{1 + 	an 	heta + 1 - 	an 	heta}{1 + 	an 	heta} ight) d	heta$  $I = \int_0^{\pi /4} \log \left( \frac{2}{1 + 	an 	heta} ight) d	heta$  $I = \int_0^{\pi /4} (\log 2 - \log (1 + 	an 	heta )) d	heta$  $I = \int_0^{\pi /4} \log 2 \, d	heta - \int_0^{\pi /4} \log (1 + 	an 	heta ) d	heta$  $I = \log 2 [	heta]_0^{\pi /4} - I$  $2I = \frac{\pi}{4} \log 2$  $I = \frac{\pi}{8} \log 2$

$\int_0^{\pi /4} {\log (1 + \tan \theta )\,d\theta = } $

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$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^{2} x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-1}^3 \left(\tan^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\right) dx =$

यदि $\int_{-1}^4 f(x) dx = 4$ और $\int_2^4 \{3 - f(x)\} dx = 7$ है, तो $\int_{-1}^2 f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\tan x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin |x| \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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