int_{-frac{pi}{4}}^{frac{pi}{4}} sin^{2} x , | vedclass

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Question

(A) हम देखते हैं कि $f(x) = \sin^{2} x$ एक सम फलन है क्योंकि $f(-x) = \sin^{2}(-x) = (-\sin x)^{2} = \sin^{2} x = f(x)$।अतः,निश्चित समाकलन के गुणधर्म

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi-2}{4}$

Vedclass · Answer

(A) हम देखते हैं कि $f(x) = \sin^{2} x$ एक सम फलन है क्योंकि $f(-x) = \sin^{2}(-x) = (-\sin x)^{2} = \sin^{2} x = f(x)$।अतः,निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^{2} x \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^{2} x \, dx$सर्वसमिका $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ का उपयोग करते हुए:$= 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 - \cos 2x) \, dx$$= \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$$= \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{2} \right) - (0 - 0)$$= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} = \frac{\pi - 2}{4}$

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^{2} x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\int_{0}^{\pi/2} \sin^{4}(x) \cdot \cos^{2}(x) dx = \frac{\pi}{32}$ है,तो $\int_{0}^{\pi/2} \cos^{4}(x) \cdot \sin^{2}(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} dx = \dots$

निश्चित समाकलन $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {\tan x} \,dx} $ का मान है

$\int_0^\infty \frac{\log(1 + x^2)}{1 + x^2} \,dx = $

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