int_0^{pi /2} {frac{1}{{1 + sqrt {tan x} }}} | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^{\pi /2} \frac{1}{1 + \sqrt{	an x}} \,dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a-x) \,dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^{\p

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$\frac{\pi }{4}$

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(B) माना $I = \int_0^{\pi /2} \frac{1}{1 + \sqrt{	an x}} \,dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a-x) \,dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^{\pi /2} \frac{1}{1 + \sqrt{	an(\pi/2 - x)}} \,dx = \int_0^{\pi /2} \frac{1}{1 + \sqrt{\cot x}} \,dx$. $I = \int_0^{\pi /2} \frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt{	an x}}} \,dx = \int_0^{\pi /2} \frac{\sqrt{	an x}}{\sqrt{	an x} + 1} \,dx$. $I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I = \int_0^{\pi /2} \left( \frac{1}{1 + \sqrt{	an x}} + \frac{\sqrt{	an x}}{1 + \sqrt{	an x}} ight) \,dx$. $2I = \int_0^{\pi /2} \frac{1 + \sqrt{	an x}}{1 + \sqrt{	an x}} \,dx = \int_0^{\pi /2} 1 \,dx$. $2I = [x]_0^{\pi /2} = \frac{\pi}{2}$. अतः,$I = \frac{\pi}{4}$.

$\int_0^{\pi /2} {\frac{1}{{1 + \sqrt {\tan x} }}} \,dx = $

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मान लीजिए $I_n = \int_0^{\pi / 2} x^n \cos x \, dx$,जहाँ $n$ एक अ-ऋणात्मक पूर्णांक है। तो,$\sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{I_n}{n!} + \frac{I_{n-2}}{(n-2)!} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x \, dx}{\sqrt{1+\cos x \sin x}} = $

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x + \sqrt{1 - x^2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^1 x(1-x)^n dx =$

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