int_0^{pi /2} {xcot x,dx} का मान ज्ञात कीजिए | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^{\pi /2} {x\cot x\,dx}$ है।खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = x$ और $dv = \cot x \, dx$ लेने पर,हमें $du

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$\frac{\pi }{2}\log 2$

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(B) माना $I = \int_0^{\pi /2} {x\cot x\,dx}$ है।खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = x$ और $dv = \cot x \, dx$ लेने पर,हमें $du = dx$ और $v = \log(\sin x)$ प्राप्त होता है।सूत्र $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करने पर:$I = [x \log(\sin x)]_0^{\pi /2} - \int_0^{\pi /2} \log(\sin x) \, dx$ प्राप्त होता है।सीमाओं का मूल्यांकन करने पर:जब $x = \pi/2$ है,तो $x \log(\sin x) = \frac{\pi}{2} \log(1) = 0$ है।जब $x 	o 0^+$ है,तो $x \log(\sin x) 	o 0$ ($L$'Hopital के नियम का उपयोग करते हुए) होता है।अतः,$[x \log(\sin x)]_0^{\pi /2} = 0$ है।हम जानते हैं कि $\int_0^{\pi /2} \log(\sin x) \, dx = -\frac{\pi}{2} \log 2$ होता है।इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर:$I = 0 - (-\frac{\pi}{2} \log 2) = \frac{\pi}{2} \log 2$ प्राप्त होता है।

$\int_0^{\pi /2} {x\cot x\,dx} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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