int_{0}^{infty} frac{x , dx}{(1 + x)(1 + x^2) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} \, dx$. આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખીએ છીએ: $\frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} = \frac

Vedclass · Accepted Answer

$\pi / 4$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} \, dx$. આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખીએ છીએ: $\frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} = \frac{A}{1 + x} + \frac{Bx + C}{1 + x^2}$. અચળાંકો શોધતા,આપણને $A = -1/2$,$B = 1/2$,અને $C = 1/2$ મળે છે. તેથી,$I = \int_{0}^{\infty} \left( \frac{-1/2}{1 + x} + \frac{1/2 x + 1/2}{1 + x^2} ight) \, dx$. $I = -\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1 + x} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\infty} \frac{2x}{1 + x^2} \, dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^2}$. સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $I = \left[ -\frac{1}{2} \ln(1 + x) + \frac{1}{4} \ln(1 + x^2) + \frac{1}{2} 	an^{-1}(x) ight]_{0}^{\infty}$. $I = \left[ \frac{1}{4} \ln\left( \frac{1 + x^2}{(1 + x)^2} ight) + \frac{1}{2} 	an^{-1}(x) ight]_{0}^{\infty}$. જ્યારે $x 	o \infty$,ત્યારે $\frac{1 + x^2}{(1 + x)^2} 	o 1$,તેથી $\ln(1) = 0$. $I = (0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}) - (0 + 0) = \frac{\pi}{4}$.

$\int_{0}^{\infty} \frac{x \, dx}{(1 + x)(1 + x^2)} = $

Similar Questions

સંકલન $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin \phi} \cos ^{5} \phi \,d \phi$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-2}^3 |1-x^2| dx =$

$\int_0^{\frac{\pi}{6}} (2+3x^2) \cos 3x \, dx =$

$\int_{-1}^{1} [x + [x + [x]]] \, dx = $ (જ્યાં $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે)

$\int_{-2}^{2} |1 - x^2| \, dx = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module