int_0^a x^2 (a^2 - x^2)^{3/2} dx = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_0^a x^2 (a^2 - x^2)^{3/2} dx$. $x = a \sin 	heta$ આદેશ લેતા,$dx = a \cos 	heta d	heta$ મળે. જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $	heta = 0

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi a^6}{32}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_0^a x^2 (a^2 - x^2)^{3/2} dx$. $x = a \sin 	heta$ આદેશ લેતા,$dx = a \cos 	heta d	heta$ મળે. જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $	heta = 0$ અને જ્યારે $x = a$,ત્યારે $	heta = \frac{\pi}{2}$. $I = \int_0^{\pi/2} (a^2 \sin^2 	heta) (a^2 - a^2 \sin^2 	heta)^{3/2} (a \cos 	heta) d	heta$ $I = \int_0^{\pi/2} (a^2 \sin^2 	heta) (a^2 \cos^2 	heta)^{3/2} (a \cos 	heta) d	heta$ $I = \int_0^{\pi/2} (a^2 \sin^2 	heta) (a^3 \cos^3 	heta) (a \cos 	heta) d	heta$ $I = a^6 \int_0^{\pi/2} \sin^2 	heta \cos^4 	heta d	heta$ સૂત્ર $\int_0^{\pi/2} \sin^m 	heta \cos^n 	heta d	heta = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = a^6 \frac{\Gamma(\frac{3}{2}) \Gamma(\frac{5}{2})}{2 \Gamma(\frac{8}{2})} = a^6 \frac{(\frac{1}{2} \sqrt{\pi}) (\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi})}{2 \cdot 3!} = a^6 \frac{\frac{3}{8} \pi}{2 \cdot 6} = a^6 \frac{3\pi}{96} = \frac{\pi a^6}{32}$.

$\int_0^a x^2 (a^2 - x^2)^{3/2} dx = $

Similar Questions

જો $b > a$ હોય,તો $\int_a^b \frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}$ ની કિંમત કેટલી થાય?

જો $\int_0^k \frac{dx}{2 + 8x^2} = \frac{\pi}{16}$ હોય,તો $k = $

સંકલન $\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{4 - \csc^2 x}{\cos^4 x} dx$ નું મૂલ્ય શોધો:

ધારો કે $a, b, c$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $\int_0^3 {(3ax^2 + 2bx + c)\,dx} = \int_1^3 {(3ax^2 + 2bx + c)\,dx}$,તો

$\int_0^\pi \frac{dx}{1 - 2a\cos x + a^2} = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module